十万个为什么（百科全书）

许多公式都有π和e，可能的原因有什么？

因为很多自然现象（旋转、波动、电路、热传导、量子力学）都有周期性行为，所以需要引入π，来表达循环往复（圆周运动）。

而e是连续增长和变化率的极限，e是唯一一个满足导数等于自身的函数常数，所以表示变化的单位没有比e更合适的了。

值得一提的是，π表示循环，e是不循环，两个本质是互斥，矛盾的，对立的，但欧拉公式却让两者可以互相转换！

这是最惊人的地方：看似不能共存的两种存在方式，却在复数世界中统一起来。

它等价于说：

一个看似永不循环的增长过程（指数 e），在复数域中，竟然对应一个圆周运动（π，周期性）！

所以欧拉公式展示了这样一种宇宙秩序：

所有的线性增长，都可以用周期性结构来表达。或者说，一切变化的过程，在更高维度中，其实是某种结构的循环。

用更通俗的话说：

所有变化其实就是在更高维度里“画圈”。

作者：蒙恩
链接：https://www.zhihu.com/question/379531809/answer/1916462580194579750
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

为什么正态分布最普遍

这是一个非常经典的问题——为什么正态分布（Normal distribution）在自然界和社会现象中如此普遍。原因其实来自数学上的中心极限定理（Central Limit Theorem）、加性噪声原理，以及一些深层的统计与信息论原理。我们分几个角度来讲👇

🧠 一、中心极限定理：普遍性的数学根源

核心思想：

当一个随机变量是许多独立微小因素的总和时，它的分布趋向于正态分布。

解释：
无论这些因素本身的分布是什么（离散、偏态、甚至重尾），只要它们是独立且影响有限，叠加的结果（例如平均值、总和）都会近似服从正态分布。

例子：

• 人的身高受成百上千个基因和环境因素影响（饮食、睡眠、荷尔蒙等），每个影响都很小、随机 → 身高分布近似正态。
• 测量误差是由众多微小物理扰动叠加 → 测量误差近似正态。
• 股票价格的短期波动由大量小事件叠加 → 收益率近似正态（尽管尾部稍胖）。

⚙️ 二、加性噪声的自然规律

在很多自然过程里，系统变化是“在原值基础上加上一点扰动”： Xt+1=Xt+ϵtX_{t+1} = X_t + \epsilon_tXt+1​=Xt​+ϵt​

其中 $\epsilon_t$ 是很多小噪声的叠加。由于中心极限定理，这个 $\epsilon_t$ 的总效果会变成正态的。

举例：

• 温度变化：由成千上万个随机分子运动导致 → 叠加结果服从正态。
• 测量误差：无数电子噪声叠加 → 电压噪声服从正态。

📊 三、信息论角度：最大熵原理

在已知方差的情况下，正态分布是熵最大的分布，也就是说它在约束条件下最“不偏不倚”，代表最“自然”的无偏随机性。

换句话说，若我们只知道一个随机变量的均值与方差，但不知道其他信息，那么最合理、最“中立”的假设就是它服从正态分布。

这也是为什么在物理（统计力学）、机器学习（噪声假设）中，正态分布成为默认假设。

🌍 四、演化与统计的稳定性

在大量随机过程迭代后，只有正态分布能在加法与缩放下保持稳定： aX+bY∼Normal⇒仍然是NormalaX + bY \sim \text{Normal} \Rightarrow 仍然是 NormalaX+bY∼Normal⇒仍然是Normal

这种封闭性使得正态分布在迭代、聚合、平均中自然出现。

💬 五、直观理解

可以想象：
你掷很多次硬币，每次记下“正面=+1，反面=-1”，然后统计总和。
随着次数增加，总和的分布就逐渐变成钟形曲线。
这其实就是中心极限定理的“直观演示”。

📘 小结

为什么星球的轨道都是椭圆型的，而不是正圆的？

一、从宇宙大爆炸开始：随机与混沌的初始条件

在“大爆炸”刚发生后的最初几亿年，宇宙中充满的是高温高密度的等离子体，没有行星、没有恒星，只有极微小的密度涨落（quantum fluctuations）。

随着宇宙膨胀、温度降低，这些微小的不均匀区域开始通过**引力坍缩（gravitational collapse）**形成：

• 星系；
• 恒星；
• 星云和行星原盘。

这个过程是“随机且带旋转的”：宇宙的任意一点都不可能是完美静止的。
即使初始角动量非常微小，一旦气体云开始坍缩，引力守恒使它的旋转加速。

这就是为什么几乎所有天体系统（星系、恒星、行星）都会旋转并形成盘状结构。

🌀 二、角动量守恒：圆形只是极端理想情况

设想一个巨大气体云在自引力下塌缩。由于任意微小的角动量不为零，它会逐渐变成一个旋转盘。

在坍缩过程中：

• 每个微粒在引力势阱中运动；
• 速度方向与位置方向几乎垂直，但不是完全垂直；
• 所以产生了非零偏心率。

系统的总角动量 L=mvrL = mvrL=mvr 必须守恒，但：

• 任何初始“扰动”或外力都会让速度方向略微偏离；
• 圆形轨道只在 v2=GM/rv^2 = GM/rv2=GM/r 且方向完美垂直时成立；
• 一旦有细微偏差，运动轨迹就变成椭圆。

所以：

在角动量守恒和引力作用下，椭圆轨道是自然的、稳定的状态；圆轨道是几乎不可能的理想极限。

⚙️ 三、从万有引力定律看：椭圆轨道是“引力势”的自然结果

引力势能是： U(r)=−GMmrU(r) = -\frac{GMm}{r}U(r)=−rGMm​

这是一个反平方势场（inverse-square potential）。

在这种势场下，能量与角动量共同决定轨道的形状：

• 总能量 E<0E < 0E<0：束缚态 → 椭圆
• E=0E = 0E=0：临界态 → 抛物线
• E>0E > 0E>0：逃逸态 → 双曲线

只有当速度恰好等于圆轨道速度时： v=GMrv = \sqrt{\frac{GM}{r}}v=rGM​​

且方向完全垂直于半径向量时，才是正圆。
但任何微小的扰动都会打破这个平衡，使能量或角动量略有不同 → 轨道变椭圆。

换句话说：

在牛顿引力势场中，椭圆是普遍解，圆只是一个零测度的特例。

☄️ 四、从原行星盘形成的物理过程看：扰动无法避免

行星并不是单独诞生的，而是在恒星形成后周围的原行星盘中生成的。

这个盘是由：

• 微尘、气体、碎片组成；
• 通过引力、碰撞、吸积逐渐聚集成行星；
• 在形成过程中受到盘内其他物质的引力扰动。

因此每颗行星从一开始的轨道就带有：

• 一定偏心率（e）；
• 与其他行星的共振；
• 来自恒星风、气体摩擦、微碰撞的随机扰动。

这些扰动让轨道不可能完美圆形，但会在长期演化中趋向低偏心、稳定椭圆。

🧠 五、深层理解：宇宙的“不完美”是稳定的来源

如果所有行星都完美地圆形运行：

• 任意微小扰动（如一次小天体撞击）都可能引起共振灾难；
• 椭圆轨道反而能在扰动下通过角动量和能量的相互转换稳定系统。

换句话说：

宇宙的“轻微不对称”反而是秩序和稳定的来源。
完美圆是一种极度脆弱的理想，而椭圆才是真实世界的稳定平衡。

🌠 六、总结一句话

一句凝练的总结：

🌍 行星的椭圆轨道，是宇宙从混沌到秩序的自然结果。
它既体现了万有引力的普适规律，也承载了大爆炸留下的微小“不完美”——这种不完美，正是宇宙稳定而恒久的根源。

最后更新于 2025年12月22日 by qlili